"Rigor Mates", parte I: Los números naturales.

Los números naturales aparecen como respuesta a la necesidad humana de contar. Su descubrimiento no es, obviamente, debido a un solo hombre en determinado momento, sino que ha sido un proceso que se ha ido desarrollando gradualmente durante miles de años, sí, miles, desde hace alrededor de 400000 años, es decir, en época tan temprana como el descubrimiento del fuego.

Los números naturales son los que se utilizan para contar. En la imagen pueden verse 6 manzanas.

Al contrario que ocurre con el lenguaje y la escritura (lo más aceptado actualmente es que primero apareció el lenguaje y, después, la escritura), se piensa que los signos para representar números (naturales) fueron anteriores a las palabras que los designaban, por el mero hecho de que es más sencillo contar muescas en un palo que tener la capacidad de abstracción necesaria para pensar en un número por sí solo, cosa que es necesaria para darle un nombre. Esta dificultad aún aparece hoy en día en las aulas de los más pequeños; un niño entiende perfectamente que si tiene una manzana y más tarde le dan dos, entonces al final tiene 3 manzanas, pero ya no entiende de forma tan sencilla que 1+2=3. Por su cabeza aparecen preguntas como: ¿qué es sumar?, ¿qué estoy sumando?(una vez conocida y entendida la respuesta a la primera), ¿cómo voy a sumar números que no se refieren a cosas?(sí, 1+2=3, pero...¿3 qué, 3 manzanas, 3 peras, 3 euros...?), etc. Pero pasaron los años, y los siglos, hasta llegar al siglo XIX, en el cual los números naturales eran sobradamente conocidos, así como sus propiedades.

Me he parado en este siglo porque es precisamente cuando aparece una nueva forma de hacer Matemáticas. En concreto, aparece una autocrítica como nunca antes la hubo, que da lugar al rigor matemático actual (el rigor matemático es muy antiguo, pero no en la forma tan "puntillosa", exacta y perfecta como la actual). Se pone en duda, pues, todo lo conocido hasta entonces. Para resolver este problema, se hizo necesario revisar todos los resultados, asentándolos sobre una firme base y avanzando con el más absoluto rigor. Una vez dicho todo esto, vayamos a lo nuestro, los números naturales, pero antes veamos un ejemplo de lo que NO sería rigor matemático:

Si escribimos pikachu como πkch(u), siendo ch(u) el coseno hiperbólico de u, al derivar obtenemos πksh(u), siendo sh(u) el seno hiperbólico de u, que se lee "Pikashu", el Picachu andaluz.

Todos sabemos cuáles son los números naturales, pero como ya hemos dicho, es necesario dar una definición exacta de lo que son. Existe más de una manera de construir de forma rigurosa el conjunto de los números naturales, que denotaremos por ℕ, pero aquí vamos a hablar de los axiomas de Peano, que son los siguientes:

• El número 0 es un número natural, por lo tanto, el conjunto ℕ no es vacío.
• Por cada número natural, hay otro, llamado siguiente.
• No existe ningún número natural cuyo siguiente sea el 0.
• Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces ellos mismos también son iguales.
• Si un subconjunto A de ℕ contiene al 0 y el siguiente de cada elemento de A está en A, encontes A es igual a ℕ.

En muchas ocasiones, no se considera al 0 como un número natural; para estos casos, los axiomas pueden enunciarse de forma análoga.

Tomando estas afirmaciones como ciertas, se deducen de forma sistemática y lógica todas las propiedades de los números naturales que se conocen. Aunque parezcan triviales, estos axiomas son muy importantes para desarrollar rigurosamente toda la teoría matemática que tiene que ver con los números naturales, que es prácticamente toda.

En la próxima entrega de "Rigor Mates" expondremos como se realiza la construcción de los números enteros, ¡no te la pierdas!

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