Al contrario de lo que ocurre con los números naturales, los números enteros no son anteriores a la civilización, sino que aparecen por la necesidad que ésta (la civilización) tiene de utilizar números negativos. Si bien, como acabamos de decir, los enteros no son tan antiguos como los naturales, tampoco son de anteayer. Las primeras civilizaciones que trabajan con números negativos (y con el 0) son la china, la hindú y la árabe, aunque hay que señalar que sólo "los veían como herramientas", no siendo aceptados como números. En Europa, la ciencia está de capa caída, y las Matemáticas no son una excepción, hasta que se produce un punto de inflexión, quizás, en el S.XIII, en el que se introduce el sistema arábigo de numeración (en realidad los árabes lo tomaron de los hindúes por medio del matemático Al-Khwarizmi). En el S.XIX, al igual que pasa con los naturales, los números enteros y sus propiedades eran sobradamente conocidos, pero faltaba ese punto de rigor inmaculado del que hoy puede presumir la Matemática.
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| Aunque no lo parezca, un día nos resultó "alocada" la idea de número negativo. |
La construcción rigurosa de los enteros no se realiza a partir de axiomas como la de los naturales, sino que se desarrolla a partir de esa base firme que proporciona dicha construcción de los naturales. Sin más preámbulos, vamos a ello.
Consideremos el conjunto ℕxℕ formado por parejas de números naturales. Es decir, un elemento de ℕxℕ será una pareja (a,b), donde a y b son números naturales (por ejemplo, (1,2), (7,3), (102,6),...). Sobre ese conjunto, definimos la siguiente relación R:
En lenguaje "de andar por casa", (a,b) está relacionado con (c,d) cuando se cumpla que a+d=b+c. Y os preguntaréis, ¿y ésto por qué? Si os fijáis, "pasando" b a la izquierda de la igualdad y d a la derecha, nos queda a-b=c-d. Es decir, cada par de números naturales (a,b) estará relacionado con otro (c,d) si ambos definen el mismo número entero a-b=c-d. Por ejemplo, el par (1,2) nos define el número entero 1-2=-1, y un par relacionado con él sería (66,67) (ya que 1+67=2+66), que nos define el mismo número entero 66-67=-1. Ahora, en este párrafo, aunque aclaratorio, el rigor brilla por su ausencia. Para presumir de un mínimo de rigor, escribamos otro párrafo.
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| Aunque ahora los veas como algo normal, párate un momento a pensar en ello. ¡Ya no son tan "naturales", eh! |
La relación así definida, no es una relación cualquiera, sino que se demuestra que es una relación de equivalencia (un tipo de relación que verifica ciertas propiedades llamadas reflexiva, simétrica y transitiva), y dada una relación de equivalencia, se puede considerar el conjunto cociente, en este caso ℕxℕ/R, que se define como el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia por R de elementos de ℕxℕ (la clase de equivalencia de (a,b) está formada por él y por todos los pares de ℕxℕ relacionados con él, así, la clase de equivalencia de (1,2) estará formada por (1,2),(2,3),(3,4),..., y todos tienen en común que definen al número entero -1=1-2=2-3=3-4=...).
Pues bien, denotando ℤ=ℕxℕ/R queda perfectamente definido el conjunto de los números enteros ℤ. A partir de esto, y utilizando las propiedades conocidas de los números naturales, se demuestran todas las propiedades de los números enteros, entre ellas, que la terna (ℤ, + , *), siendo + y * las operaciones habituales de suma y producto, es un anillo, pero eso ya sería otro tema. A pesar de esto, no hay ningún problema en que, en la práctica, se identifique a la clase de equivalencia de (1,2) con el símbolo -1, y así con todos los demás XD
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Vamos que los números enteros surgen de los naturales por la necesidad de querer "restar". Pues siguiendo exactamente la misma idea, o sea, "legalizar las diferencias" se puede construir un grupo abeliano G a partir de un semi-grupo abeliano S.
ResponderEliminarEl grupo obtenido se llama grupo de Grothendieck de S. En nuestro caso Z es el grupo de Grothendieck de N.
Exacto Rubén, esa es la necesidad a la que me refiero, los naturales permiten "realizar algunas restas", como 3-1=2, pero otras no, como 1-3. Muy interesante lo de grupo de Grothendieck y, en efecto, (Z,+) es el grupo de Grothendieck del semigrupo (N,+). ¡Gracias por la aportación, eres un crack!
Eliminarotra forma de verlo es la que aporta Lombardero, como no sabemos resolver ecuaciones del tipo x+a=b (para a>b), llamamos con la etiqueta (a,b) a la supuesta solución de cada ecuación. Luego, si dos ecuaciones tienen la misma solución diremos que son equivalentes, o lo que es lo mismo:
ResponderEliminarx+a=b eq. x+c=d sii al restarlas nos queda a-c=b-d, es decir, la relación de equivalencia de más arriba. Las reglas de suma y producto salen igual.
Es una forma bonita de acordarse, también vale con la construcción de Q, para resolver las ecuaciones del tipo x*a=b
Miguel, a veces creo que me lees la mente XD. Estuve a punto de justificar la construcción de los enteros de esa forma, pero no sé por qué al final no lo hice. Sin embargo, en el borrador de la entrada que se publicará el domingo, la dedicada a los racionales, sí que hablo de eso, de que las ecuaciones del tipo ax=b no siempre tienen solución en Z, y que por ello se construye una ampliación de Z en la que siempre la haya, Q.
Eliminar¡Gracias por la aportación!
Acabo de descubrir tu página ahora que estoy interesado en iniciarme en las mates. Y eres el único que he encontrado que esta abordando los temas de manera tan sencilla y divertida. Muchas gracias!
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